Question

已知函数f（x）=ln（1+2x）-2x+ax²，
（1）若a=1，求f（x）的单调区间；
（2）若函数f（x）存在两个极值点，且都小于1，求a的取值范围；
（3）若对f（x）定义域内的任意x，不等式f（x）≤0恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）求导函数，利用导数的正负，可得f（x）的单调区间；
（2）求导函数，利用函数f（x）存在两个极值点，且都小于1，结合函数的定义域，即可求a的取值范围；
（3）令t=2x，则原不等式等价于ln(1+t)-t≤-

1

4

at2，分类讨论，分离参数，可得结论．

解答：解：（1）若a=1时，f（x）=ln（1+2x）-2x+x²，∴f′(x)=

2x(2x-1)

1+2x

（x＞-

1

2

）．
当x∈(-

1

2

，0)∪(

1

2

，+∞)，f′（x）＞0，则f（x）的单调递增区间为(-

1

2

，0)和(

1

2

，+∞)；
当x∈(0，

1

2

)，f′（x）＜0，则f（x）的单调递减区间为(0，

1

2

)；
（2）f′(x)=2•

2ax2-(2-a)x

1+2x

（x＞-

1

2

）．
由函数f（x）存在两个极值点，可知a≠2
∵两个极值点都小于1，结合函数的定义域有-

1

2

＜

1

a

-

1

2

＜1，解得a＞

2

3

综上，a＞

2

3

且a≠2；
（3）令t=2x，则原不等式等价于ln(1+t)-t≤-

1

4

at2
t=0，满足题设；
t≠0，有

ln(1+t)-t

t2

≤-

a

4

∵ln（1+t）-t＜0恒成立
∴

ln(1+t)-t

t2

＜0
∴0≤-

a

4

∴a≤0．

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与极值，考查学生分析解决问题的能力，有难度．