Question

10．若非零函数f（x）对任意实数a，b均有f（a+b）=f（a）•f（b），且当x＜0时，f（x）＞1．
（1）求f（0）的值；
（2）求证：f（x）＞0对一切实数x∈R都成立；
（3）当f（4）=$\frac{1}{16}$时，解不等式f（x-3）•f（5-x²）≤$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 （1）利用f（0）=f²（0），f（0）≠0，求f（0）的值；
（2）f（x）=f（$\frac{x}{2}$+$\frac{x}{2}$）=f²（$\frac{x}{2}$），结合函数f（x）为非零函数可得；
（3）证明f（x）为减函数，由f（4）=f²（2）=$\frac{1}{16}$，则f（2）=$\frac{1}{4}$，从而化简不等式f（x-3）•f（5-x²）≤$\frac{1}{4}$为f（x-3+5-x²）≤f（2），从而利用单调性求解．

解答 （1）解：∵f（0）=f²（0），f（0）≠0，∴f（0）=1，
（2）证明：∵f（$\frac{x}{2}$）≠0，
∴f（x）=f（$\frac{x}{2}$+$\frac{x}{2}$）=f²（$\frac{x}{2}$）＞0．
（3）解：f（b-b）=f（b）•f（-b）=1；
∴f（-b）=$\frac{1}{f（b）}$；
任取x₁＜x₂，则x₁-x₂＜0，
∴$\frac{f（{x}_{1}）}{f（{x}_{2}）}$=f（x₁-x₂）＞1，
又∵f（x）＞0恒成立，
∴f（x₁）＞f（x₂），∴f（x）为减函数；
由f（4）=f²（2）=$\frac{1}{16}$，则f（2）=$\frac{1}{4}$，
原不等式转化为f（x-3+5-x²）≤f（2），
结合（2）得：x+2-x²≥2，
∴0≤x≤1，
故不等式的解集为{x|0≤x≤1}．

点评 本题考查了函数单调性的证明与应用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．