Question

11．在直角坐标系xOy中，以坐标原点O为圆心的圆与直线：x-$\sqrt{3}$y=4相切．
（Ⅰ）求圆O的方程；
（Ⅱ）圆O与x轴相交于A、B两点，圆内的动点P使|PA|、|PO|、|PB|成等比数列，求$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）圆的半径为圆心到切线的距离r=$\frac{|0-0-4|}{\sqrt{1+3}}$=2，从而写出圆O的方程；
（Ⅱ）设P（x，y），从而由|PA|•|PB|=|PO|²得x²=y²+2，由点P在圆内可得x²+y²＜4，从而可得0≤y²＜1，$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=（-2-x，-y）•（2-x，-y）=x²+y²-4，从而解得．

解答 解：（Ⅰ）∵以坐标原点O为圆心的圆与直线：x-$\sqrt{3}$y=4相切，
∴r=$\frac{|0-0-4|}{\sqrt{1+3}}$=2，O（0，0），
∴圆O的方程为 x²+y²=4；
（Ⅱ）圆O与x轴相交于A（-2，0）、B（2，0）两点，圆内的动点P使|PA|、|PO|、|PB|成等比数列，
∴|PA|•|PB|=|PO|²，设点P（x，y），．
则有 $\sqrt{（x+2）^{2}+{y}^{2}}$$\sqrt{（x-2）^{2}+{y}^{2}}$=x²+y²，
即x²=y²+2．
由点P在圆内可得 x²+y²＜4，故有 0≤y²＜1；
∵$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=（-2-x，-y）•（2-x，-y）=x²+y²-4=2（y²-1）∈[-2，0）．
即$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$的取值范围是[-2，0）．

点评 本题考查了圆的方程的应用及向量的数量积的求法．