Question

15．计算（1-$\frac{1}{{2}^{2}}$）（1-$\frac{1}{{3}^{2}}$）…（1-$\frac{1}{2{0}^{2}}$）的结果是（　　）

• A． $\frac{19}{10}$
• B． $\frac{21}{40}$
• C． $\frac{9}{20}$
• D． $\frac{11}{20}$

Answer 1

分析 由1-$\frac{1}{{2}^{2}}$=$\frac{3}{4}$，（1-$\frac{1}{{2}^{2}}$）（1-$\frac{1}{{3}^{2}}$）=$\frac{2}{3}$=$\frac{4}{6}$，（1-$\frac{1}{{2}^{2}}$）（1-$\frac{1}{{3}^{2}}$）$（1-\frac{1}{{4}^{2}}）$=$\frac{5}{8}$，…，可得：分子与分母分别成等差数列，于是通项公式a_n=$\frac{n+2}{2n+2}$．

解答 解：∵1-$\frac{1}{{2}^{2}}$=$\frac{3}{4}$，
（1-$\frac{1}{{2}^{2}}$）（1-$\frac{1}{{3}^{2}}$）=$\frac{2}{3}$=$\frac{4}{6}$，
（1-$\frac{1}{{2}^{2}}$）（1-$\frac{1}{{3}^{2}}$）$（1-\frac{1}{{4}^{2}}）$=$\frac{5}{8}$，
…，
∴分子与分母分别成等差数列，
可得通项公式a_n=$\frac{n+2}{2n+2}$．
∴（1-$\frac{1}{{2}^{2}}$）（1-$\frac{1}{{3}^{2}}$）…（1-$\frac{1}{2{0}^{2}}$）=$\frac{19+2}{2×19+2}$=$\frac{21}{40}$．
故选：B．

点评 本题考查了等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．