Question

已知不等式x²-x-m+1＞0．
（1）当m=3时解此不等式；
（2）若对于任意的实数x，此不等式恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）当m=3时，不等式x²-x-2＞0，解可得答案；
（2）不等式x²-x-m+1＞0对任意实数x恒成立，设y=x²-x-m+1，再利用大于0恒成立须满足的条件：开口向上，判别式小于0来解m的取值范围．

解答：解：（1）当m=3时，
不等式x²-x-2＞0
解得：x∈（-∞，-1）∪（2，+∞）
（2）设y=x²-x-m+1
∵不等式x²-x-m+1＞0对于任意的x都成立
∴对?x∈R，y＞0恒成立
∴△=1²+4（m-1）＜0
∴m∈(-∞，

3

4

)
故实数m的取值范围m∈(-∞，

3

4

)．

点评：本题考查了一次函数和二次函数的恒成立问题．本题的关键在于“转化”，先将不等式恒成立转化为函数恒成立问题，再利用二次函数与x轴无交点解决问题．