Question

【题目】设不等式组 所表示的平面区域为Dn ， 记Dn内的整点个数为an（n∈N*）．（整点即横坐标和纵坐标均为整数的点）
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）记数列{an}的前n项和为Sn ， 且 ，若对于一切的正整数n，总有Tn≤m，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（I）由x＞0，y＞0，3n﹣nx＞0，得0＜x＜3，∴x=1或x=2， ∴Dn内的整点在直线x=1和x=2上，记直线y=﹣nx+3n为l，l与直线x=1，x=2的交点的纵坐标分别为y1、y2 ，
则y1=﹣n+3n=2n，y2=﹣2n+3n=n，
∴ ；
（II）∵ ，

∴当n≥3时，Tn＞Tn+1 ， 且 ，
∴T2 ， T3是数列{Tn}中的最大项，故
【解析】（Ⅰ）由x＞0，y＞0，3n﹣nx＞0，可求得x=1，或x=2，则Dn内的整点在直线x=1和x=2上，联立可求得整点纵坐标，进而可得整点个数；（Ⅱ）先求出Sn ， 从而可得Tn ， 通过作差可求得Tn的最大项，则m大于等于最大项；
【考点精析】通过灵活运用二元一次不等式（组）所表示的平面区域，掌握不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的公共部即可以解答此题．