Question

如图一是火力发电厂烟囱示意图．它是双曲线绕其一条对称轴旋转一周形成的几何体，烟囱最细处的直径为10m，最下端的直径为12m，最细处离地面6m，烟囱高14m，试求该烟囱占有空间的大小．（精确到0.1m³）

Answer 1

考点：用定积分求简单几何体的体积,双曲线的简单性质

专题：导数的综合应用

分析：由题意建立坐标系，得到如图的双曲线，烟囱最细处的直径为10m即2a=10，最下端的直径为12m，最细处离地面6m，即双曲线经过（-6，6），烟囱高14m，即自变量范围为-6到8，由此利用定积分的值得到体积．

解答： 解：由题意，将烟囱横截面按照如图放置，建立坐标系如图，双曲线的短轴长为2A=10，并且过（-6，6），
所以双曲线方程为

y2

25

-

11x2

25×36

=1，
所以V=π

∫

8 -6

(

11x2

36

+25)dx=1659.2m³

点评：求旋转体体积公式步骤如下：1．先求出的表达式f（x）；2．代入公式V=π

∫

b a

[f(x)]2dx，即可求旋转体体积的值．