Question

已知函数f(x)=

1

3

ax3+bx，a，b是都不为零的常数．
（1）若函数f（x）在R上是单调函数，求a，b满足的条件；
（2）设函数g（x）=f′（x）-b-e^x，若g（x）有两个极值点x₁，x₂，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用,函数零点的判定定理

专题：导数的综合应用

分析：（1）若函数f（x）在R上是单调函数，只要f'（x）=ax²+b＞0或f'（x）=ax²+b＜0即可，即△＜0即可；
（2）由题意得若g（x）有两个极值点x₁，x₂，则则x₁，x₂是g'（x）=2ax-e^x=0的两个根，
即方程2a=

ex

x

有两个根，设h(x)=

ex

x

，利用导数求得h（x）的最小值，h（x）_min即可求得结论．

解答： 解（1）f'（x）=ax²+b，若函数f（x）是单调函数，则由△＜0得ab＞0．
（2）由g（x）=ax²-e^x，若g（x）有两个极值点x₁，x₂，
则x₁，x₂是g'（x）=2ax-e^x=0的两个根，又x=0不是该方程的根，所以方程2a=

ex

x

有两个根，
设h(x)=

ex

x

，求导得：h′(x)=

ex(x-1)

x2

①当x＜0时，h（x）＜0，且h'（x）＜0，h（x）单调递减；
②当x＞0时，h（x）＞0，
若0＜x＜1，h'（x）＜0，h（x）单调递减；
若x＞1，h'（x）＞0，h（x）单调递增；
若方程2a=

ex

x

有两个根，只需：2a＞h（1）=e，
所以a＞

e

2

．

点评：本题考查利用导数判断函数的单调性及求函数的最值知识，考查学生运用转化和划归思想解决问题的能力，属难题．