Question

已知f （x）=2sin（x+

θ

2

）cos（x+

θ

2

）+2

3

cos²（x+

θ

2

）-

3

．
（1）化简f （x）的解析式；
（2）若0≤θ≤π，求θ使函数f （x）为偶函数；
（3）在（2）成立的条件下，求满足f （x）=1，x∈[-π，π]的x的集合．

Answer 1

分析：（1）把函数解析式第一项利用二倍角的正弦函数公式化简，第二项利用二倍角的余弦函数公式化简，合并整理后，再利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，即为函数解析式的最简形式；
（2）把函数解析式中的x化为-x，确定出f（-x）的解析式，根据偶函数的性质f（-x）=f（x），列出关系式，利用正弦函数的奇偶性以及两角和与差的正弦函数公式化简，整理后可得cos（θ+

π

3

）=0，根据θ的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出满足题意θ的度数；
（3）把第二问求出θ的度数代入到函数解析式中，并根据f（x）=1，利用诱导公式化简，可求出cos2x的值，由x的范围，利用余弦函数的图象与性质及特殊角的三角函数值，即可求出满足题意x的集合．

解答：解：（1）f（x）=sin（2x+θ）+2

3

×

1+cos(2x+θ)

2

-

3

=sin（2x+θ）+

3

cos（2x+θ）
=2sin（2x+θ+

π

3

）；
（2）要使f （x）为偶函数，则必有f（-x）=f（x），
∴2sin（-2x+θ+

π

3

）=2sin（2x+θ+

π

3

），即-sin[2x-（θ+

π

3

）]=sin（2x+θ+

π

3

），
整理得：-sin2xcos（θ+

π

3

）+cos2xsin（θ+

π

3

）=sin2xcos（θ+

π

3

）+cos2xsin（θ+

π

3

）
即2sin2xcos（θ+

π

3

）=0对x∈R恒成立，
∴cos（θ+

π

3

）=0，又0≤θ≤π，
则θ=

π

6

；
（3）当θ=

π

6

时，f（x）=2sin（2x+

π

2

）=2cos2x=1，
∴cos2x=

1

2

，
∵x∈[-π，π]，
∴x=±

π

6

，
则x的集合为{x|x=±

π

6

}．

点评：此题考查了三角函数的化简求值，以及正弦函数的奇偶性，涉及的知识有：二倍角的正弦、余弦函数公式，两角和与差的正弦函数公式，诱导公式，余弦函数的图象与性质，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式是解本题的关键．