Question

（08年德州市质检理）（12分） 已知四棱锥P―ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90^0。，PA⊥底面ABCD且PA=AD=DC=1，AB=2，M是PB的中点

（1）证明：面PAD⊥面PCD；

（2）求AC与PB所成的角；

（3）求面AMC与面BMC所成二面角的大小

 

Answer 1

解析：以A为坐标原点AD长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为A（0，0，0），B（0，2，0），C（1,1,0），D（1,0,0），P（0,0，1），M（0,1,1／2），

（1）因=（0，0，1），=（0，1，0），

故，所以AP⊥DC．

由题设知AD⊥DC，且AP与AD是平面PAD内的两条相交直线，

由此得DC⊥面PAD．

又DC在面PCD上，故面PAD⊥面PCD                                                               4分

（2）因=（1，1，0），=（0，2，-1），

故

所以

AC与PB所成的角为                                                                                  8分

（3）由=（0，1，1/2），=（1，0，一1/2），=（一1，1，0）

设平面AMC与面BMC的法向量分别为=（x，y，z），=（p，q，v），

则解得：=（1，一1，2），

同理=（1，1，2），

由题可知，二面角的平面角为钝角，

所以面AMC与面BMC二面角的大小                                      12分