Question

将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两个顶点不同色，现有5种不同颜色可用，则不同染色方法的总数是

420

．（用数字作答）

Answer 1

分析：首先给顶点P选色，有5种结果，再给A选色有4种结果，再给B选色有3种结果，最后分两种情况即C与A同色与C与A不同色来讨论，根据分步计数原理和分类计数原理得到结果．

解答：解：四棱锥为P-ABCD．下面分两种情况即C与B同色与C与B不同色来讨论，
（1）各个点的不同的染色方法 P：C₅¹，A：C₄¹，B：C₃¹，C与A同色：D：C₃¹ ，
故共有

C

1 5

•C₄¹•C₃¹•C₃¹ 种．
（2）各个点的不同的染色方法 P：C₅¹，A：C₄¹，B：C₃¹，C与A不同色C₂¹，D：C₂¹，
故共有

C

1 5

•C₄¹•C₃¹•C₂¹•C₂¹ 种
由分步计数原理可得不同的染色方法总数有：

C

1 5

•C₄¹•C₃¹•C₃¹ +

C

1 5

•C₄¹•C₃¹•C₂¹•C₂¹ =420．
故答案为：420．

点评：本题主要排列与组合及两个基本原理，总结此类问题的做法，对于复杂一点的计数问题，有时分类以后，每类方法并不都是一步完成的，必须在分类后又分步，综合利用两个原理解决，属于中档题．