Question

8．设a≤2，求y=（x-2）|x|在[a，2]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 由绝对值的含义，去绝对值，再由二次函数的最值求法，对a讨论，结合单调性，即可得到最值．

解答 解：y=（x-2）|x|=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-2x，x＞0}\\{2x-{x}^{2}，x≤0}\end{array}\right.$，
当x≤0，y=-（x-1）²+1，
当x＞0，y=（x-1）²-1，
当1≤a≤2时，函数在[a，2]递增，y_min=a²-2a，y_max=0；
当1-$\sqrt{2}$≤a＜1时，在[a，0）递增，（0，1）递减，（1，2）递增，
即有y_min=1-2=-1，y_max=0；
当a＜1-$\sqrt{2}$时，在[a，0）递增，（0，1）递减，（1，2）递增，
即有y_min=（a-2）|a|=2a-a²，y_max=0．

点评 本题考查含绝对值函数的最值的求法，注意分类讨论的思想方法，以及函数的单调性的运用，属于中档题．