Question

设f（x）是定义在R上的奇函数，且对任意a，b∈R，当a+b≠0时，都有

f(a)+f(b)

a+b

＞0
（1）若a＞b，试比较f（a）与f（b）的大小关系．
（2）若f（1+m）+f（3-2m）≥0求实数m的取值范．

Answer 1

考点：奇偶性与单调性的综合

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据函数单调性的定义即可证明f（x）在R上为增函数即可．
（2）根据函数的奇偶性和单调性的关系将不等式进行转化即可求实数m的取值范．

解答： 解：（1）设x₁＜x₂，
则x₁-x₂＜0，
则由条件可得

f(x1)+f(-x2)

x1-x2

＞0，
则f（x₁）+f（-x₂）＜0，
即f（x）是定义在R上的奇函数，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
则f（x₁）＜f（x₂），则f（x）在R上为增函数；
则若a＞b，则f（a）＞f（b）．
（2）若f（1+m）+f（3-2m）≥0，
则f（1+m）≥-f（3-2m）=f（2m-3），
由（1）f（x）在R上为增函数；
∴不等式等价为1+m≥2m-3，
解得m≤4，
故实数m的取值范（-∞，4]．

点评：本题主要考查函数单调性的判断以及不等式的求解，根据函数奇偶性和单调性的定义是解决本题的关键．