Question

已知函数f（x）=ax⁴+bx³+cx²-2x-2的导函数为f'（x）=-x³+2x²+x+d．
（1）求实数a、b、c、d的值；
（2）若函数y=f（x）在区间(m，m+

1

2

)上存在极值，求实数m的范围；
（3）若函数y=log₂[f（x）+p]的图象与坐标轴无交点，求实数p的取值范围．

Answer 1

分析：（1）已知函数f（x）=ax⁴+bx³+cx²-2x-2对其进行求导，根据已知的导函数求出函数的系数；
（2）令f′（x）=0，可以求出极值点，列出表格得到单调区间，求出极大值和极小值，要使函数y=f（x）在区间(m，m+

1

2

)上存在极值，区间(m，m+

1

2

)中应该包含极值点，从而列出不等式求出实数m的范围；
（3）函数y=log₂[f（x）+p]的图象与坐标轴无交点，要分两种情况进行讨论：当函数y=log₂[f（x）+p]的图象与x轴无交点时；当函数y=log₂[f（x）+p]的图象与y轴无交点时；利用对数函数的性质进行计算；

解答：解：（1）∵f（x）=ax⁴+bx³+cx²-2x-2，
∴f′（x）=4ax³+3bx²+2cx-2=-x³+2x²+x+d．
可得4a=-1，3b=2，2c=1，d=-2，
∴a=-

1

4

，b=

2

3

，c=

1

2

，d=-2，
（2）由（1）知f（x）=-

1

4

x⁴+

2

3

x³+

1

2

x²-2x-2，
f′（x）=-x³+2x²+x-2=-（x+1）（x-1）（x-2），令f′（x）=0，
得x=-1或x=1或x=2，
列表得：
∴函数f（x）有极大值f（-1）=-

5

12

，f（2）=-

8

3

，极小值f（1）=-

37

12

；

x	（-∞，1）	-1	（-1，1）	1	（1，2）	2	（2，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+	+	-
f（x）	增函数	f（-1）=- 5 12	减函数	f（1）=- 37 12	增函数	f（2）=- 8 3	减函数

∵函数y=f（x）在区间(m，m+

1

2

)上存在极值，
∴

m＜-1 -1＜m+ 1 2 ≤1

或

0＜m＜1 1＜m+ 1 2 ≤2

或

1≤m＜2 m+ 1 2 ＞2.

…（5分）
解得-

3

2

＜m＜-1或

1

2

＜m＜1或

3

2

＜m＜2．
故实数m∈(-

3

2

，-1)∪(

1

2

，1)∪(

3

2

，2)．          …（6分）
（3）函数y=log₂[f（x）+p]的图象与坐标轴无交点，有如下两种情况：
（ⅰ）当函数y=log₂[f（x）+p]的图象与x轴无交点时，
必须有：

f(x)+p＞0有解 f(x)+p=1无解

即

[f(x)+p]max＞0 1不在y=f(x)+p的值域里

而[f(x)+p]max=-

5

12

+p，
函数y=f（x）+p的值域为(-∞，-

5

12

+p]，
∴

- 5 12 +p＞0 1＞- 5 12 +p

解得

5

12

＜p＜

17

12

．             
（ⅱ）当函数y=log₂[f（x）+p]的图象与y轴无交点时，
必须有：

f(x)+p＞0有解 log2[f(0)+p]不存在

即

[f(x)+p]max＞0 f(0)+p≤0或f(0)不存在 .

而f（0）=-2有意义，
∴

[f(x)+p]max＞0 f(0)+p≤0

即

- 5 12 +p＞0 -2+p≤0

解得

5

12

＜p≤2．
由（ⅰ）、（ⅱ）知，p的范围是：
{p|

5

12

＜p＜

17

12

}∩{p|

5

12

＜p≤2}={p|

5

12

＜p＜

17

12

}，
故实数p的取值范围是(

5

12

，

17

12

)．

点评：本题是一道难题，但是第一问比较简单，用待定系数法很容易求解，第二问考查利用导数研究函数的单调区间，是一种常用的方法，第三问需要分类讨论，考虑问题要全面，此题是一道综合性很强的题，需要同学们好好整理．