Question

在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁＝2，底面是边长为1的正方形，E、F分别是棱B₁B、DA的中点．
(1)求二面角D₁-AE-C的大小；
(2)求证：直线BF∥平面AD₁E.

Answer 1

（1）90°（2）见解析

(1)解：以D为坐标原点，DA、DC、DD₁分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系如图．

则相应点的坐标分别为D₁(0，0，2)，A(1，0，0)，C(0，1，0)，E(1，1，1)，∴＝(0，0，2)－(1，1，1)＝(－1，－1，1)，
＝(1，1，1)－(1，0，0)＝(0，1，1)，
＝(0，1，0)－(1，0，0)＝(－1，1，0)．
设平面AED₁、平面AEC的法向量分别为m＝(a，b，1)，n＝(c，d，1)．
由
由
∴m＝(2，－1，1)，n＝(－1，－1，1)，∴cosm，n=＝＝0，
∴二面角D₁AEC的大小为90°.
(2)证明：取DD₁的中点G，连结GB、GF.

∵E、F分别是棱BB₁、AD的中点，
∴GF∥AD₁，BE∥D₁G且BE＝D₁G，
∴四边形BED₁G为平行四边形，∴D₁E∥BG.
又D₁E、D₁A平面AD₁E，BG、GF∥平面AD₁E，
∴BG∥平面AD₁E，GF∥平面AD₁E.
∵GF、GB平面BGF，∴平面BGF∥平面AD₁E.
∵BF平面AD₁E，∴直线BF∥平面AD₁E.
(或者：建立空间直角坐标系，用空间向量来证明直线BF∥平面AD₁E，亦可)