Question

【题目】如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面△ABC是等边三角形，侧面AA1B1B为正方形，且AA1⊥平面ABC，D为线段AB上的一点．
（Ⅰ）若BC1∥平面A1CD，确定D的位置，并说明理由；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求二面角A1D﹣C﹣BC1的余弦值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）D为AB的中点，理由如下：

连接AC1，交A1C于点E，可知E为AC1的中点，连接DE，

因为BC1∥平面A1CD，

平面ABC1∩平面A1CD=DE，

所以BC1∥DE，

故D为AB的中点．

（Ⅱ）不妨设AB=2，分别取BC，B1C1的中点O，O1，连接AO，OO1，可知OB，OO1，OA两两互相垂直，建立如图的空间直角坐标系O﹣xyz．

知 ，

则 ， ，

设面A1CD的法向量m=（x，y，z），

由 得

令x=1，得A1CD的一个法向量为 ，

又平面BCC1的一个法向量n=（0，0，1），

设二面角A1D﹣C﹣BC1的平面角为α，

则 ．

即该二面角的余弦值为 ．

【解析】（Ⅰ）D为AB的中点，理由如下：连接AC1，交A1C于点E，可知E为AC1的中点，连接DE，利用线面平行的性质定理、三角形中平行线的性质即可得出．（Ⅱ）不妨设AB=2，分别取BC，B1C1的中点O，O1，连接AO，OO1，可知OB，OO1，OA两两互相垂直，建立如图的空间直角坐标系O﹣xyz．利用线面垂直的性质定理、向量垂直与数量积的关系可得：平面A1CD的法向量 ，又平面BCC1的一个法向量 =（0，0，1），利用向量夹角公式即可得出．
【考点精析】本题主要考查了直线与平面平行的判定的相关知识点，需要掌握平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行才能正确解答此题．