【题目】已知函数f(x)=ex﹣ax+a(a∈R),其中e为自然对数的底数.
(1)讨论函数y=f(x)的单调性;
(2)函数y=f(x)的图象与x轴交于A(x1 , 0),B(x2 , 0)两点,x1<x2 , 点C在函数y=f(x)的图象上,且△ABC为等腰直角三角形,记 ,求at﹣(a+t)的值.
【答案】
(1)解:函数f(x)=ex﹣ax+a,f'(x)=ex﹣a,
①当a≤0时,则f'(x)>0,则函数f(x)在(﹣∞,+∞)是单调增函数.
②当a>0时,令f'(x)=0,则x=lna,
若x<lna,f'(x)<0,所以f(x)在(﹣∞,lna)上是单调减函数;
若x>lna,f'(x)>0,所以f(x)在(lna,+∞)上是单调增函数.
(2)解:由(1)可知当a>0时,函数y=f(x)其图象与x轴交于两点,则有 ,则 ,则xi>1(i=1,2).
于是 ,在等腰三角形ABC中,显然C=90°,所以 ,即y0=f(x0)<0,
由直角三角形斜边的中线性质,可知 ,
所以 ,即 ,
所以 ,
即 .
因为x1﹣1≠0,则 ,
又 ,所以 ,
即 ,则(a﹣1)(t﹣1)=2.
所以at﹣(a+t)=1.
【解析】(1)求导,分类讨论,根据导数与函数单调性的关系,即可求得f(x)的单调性区间;(2)由题意可知:C=90°,则 ,即y0=f(x0)<0,然后得到关于参数a的方程 ,则 ,则(a﹣1)(t﹣1)=2.即可求得at﹣(a+t)=1.
【考点精析】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性的相关知识点,需要掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系: 在某个区间内,(1)如果,那么函数在这个区间单调递增;(2)如果,那么函数在这个区间单调递减才能正确解答此题.
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【题目】已知椭圆 的右焦点为F,过椭圆C中心的弦PQ长为2,且∠PFQ=90°,△PQF的面积为1.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)设A1、A2分别为椭圆C的左、右顶点,S为直线 上一动点,直线A1S交椭圆C于点M,直线A2S交椭圆于点N,设S1、S2分别为△A1SA2、△MSN的面积,求 的最大值.
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【题目】已知曲线C:x2+y2+2kx+(4k+10)y+10k+20=0,其中k≠-1.
(1)求证:曲线C都表示圆,并且这些圆心都在同一条直线上;
(2)证明:曲线C过定点;
(3)若曲线C与x轴相切,求k的值.
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【题目】如图,四棱锥中,底面为矩形,侧面为正三角形,且平面 平面, 为中点, .
(Ⅰ)求证:平面平面;
(Ⅱ)若二面角的平面角大小满足,求四棱锥的体积.
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【题目】棉花的纤维长度是评价棉花质量的重要指标,某农科所的专家在土壤环境不同的甲、乙两块实验地分别种植某品种的棉花,为了评价该品种的棉花质量,在棉花成熟后,分别从甲、乙两地的棉花中各随机抽取20根棉花纤维进行统计,结果如下表:(记纤维长度不低于300mm的为“长纤维”,其余为“短纤维”)
纤维长度 | (0,100) | [100,200) | [200,300) | [300,400) | [400,500] |
甲地(根数) | 3 | 4 | 4 | 5 | 4 |
乙地(根数) | 1 | 1 | 2 | 10 | 6 |
(1)由以上统计数据,填写下面2×2列联表,并判断能否在犯错误概率不超过0.025的前提下认为“纤维长度与土壤环境有关系”.
甲地 | 乙地 | 总计 | |
长纤维 | |||
短纤维 | |||
总计 |
附:(1) ;(2)临界值表;
P(K2≥k0) | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
k0 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
(2)现从上述40根纤维中,按纤维长度是否为“长纤维”还是“短纤维”采用分层抽样的方法抽取8根进行检测,在这8根纤维中,记乙地“短纤维”的根数为X,求X的分布列及数学期望.
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【题目】已知圆C:x2+(y-1)2=5,直线l:mx-y+1-m=0(m∈R).
(1)判断直线l与圆C的位置关系;
(2)设直线l与圆C交于A,B两点,若直线l的倾斜角为120°,求弦AB的长.
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【题目】已知MOD函数是一个求余函数,记MOD(m,n)表示m除以n的余数,例如MOD(8,3)=2.如图是某个算法的程序框图,若输入m的值为48时,则输出i的值为( )
A.7
B.8
C.9
D.10
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