Question

设圆上的点A（2，3）关于直线x+2y=0的对称点仍在圆上，且与直线x-y+1=0相交的弦长为2

2

，求圆的方程．

Answer 1

分析：设出圆的方程为（x-a）²+（y-b）²=r²，由圆上的点关于直线的对称点还在圆上得到圆心在这条直线上，设出圆心坐标，代入到x+2y=0中得到①；把A的坐标代入圆的方程得到②；由圆与直线x-y+1=0相交的弦长为2

2

，利用垂径定理得到弦的一半，圆的半径，弦心距成直角三角形，利用勾股定理得到③，三者联立即可求出a、b和r的值，得到满足题意的圆方程．

解答：解：设所求圆的圆心为（a，b），半径为r，
∵点A（2，3）关于直线x+2y=0的对称点A′仍在这个圆上，
∴圆心（a，b）在直线x+2y=0上，
∴a+2b=0，①
（2-a）²+（3-b）²=r²．②
又直线x-y+1=0截圆所得的弦长为2

2

，
圆心（a，b）到直线x-y+1=0的距离为d=

|a-b+1|

1+1

=

|a-b+1|

2

，
则根据垂径定理得：r²-（

a-b+1

2

）²=（

2

）²③
解由方程①、②、③组成的方程组得：

b=-3 a=6 r2=52

或

b=-7 a=14 r2=244

∴所求圆的方程为（x-6）²+（y+3）²=52或（x-14）²+（y+7）²=244．

点评：此题要求学生掌握直线与圆的位置关系，灵活运用垂径定理及对称知识化简求值，是一道中档题．学生做题时注意满足题意的圆方程有两个．