Question

11．如图，已知AC，BD为圆O的任意两条直径，直线AE，CF是圆O所在平面的两条垂线，且线段AE=CF=$\sqrt{2}$，AC=2．
（Ⅰ）证明AD⊥BE；
（Ⅱ）求多面体EF-ABCD体积的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）证明AD⊥平面ABE，即可证明AD⊥BE；
（Ⅱ）多面体EF-ABCD体积V=V_B-AEFC+V_D-AEFC=2V_B-AEFC，作BM⊥AC交AC于点M，则BM⊥平面AEFC，求出多面体ABCDEF的体积，即可得出结论．

解答 （Ⅰ）证明：∵BD为圆O的直径，∴AB⊥AD，
∵直线AE是圆O所在平面的垂线，
∴AD⊥AE，
∵AB∩AE=A，
∴AD⊥平面ABE，
∴AD⊥BE；
（Ⅱ）解：多面体EF-ABCD体积V=V_B-AEFC+V_D-AEFC=2V_B-AEFC．
∵直线AE，CF是圆O所在平面的两条垂线，
∴AE∥CF，∥AE⊥AC，AF⊥AC．
∵AE=CF=$\sqrt{2}$，∴AEFC为矩形，
∵AC=2，
∴S_AEFC=2$\sqrt{2}$，
作BM⊥AC交AC于点M，则BM⊥平面AEFC，
∴V=2V_B-AEFC=2×$\frac{1}{3}×2\sqrt{2}×BM$≤$\frac{4\sqrt{2}}{3}OB$=$\frac{4\sqrt{2}}{3}$．
∴多面体EF-ABCD体积的最大值为$\frac{4\sqrt{2}}{3}$．

点评 本题考查线面垂直，线线垂直，考查体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，难度中等．