分析 由f(x)=x3-ax2,知f'(x)=3x2-2ax.由函数f(x)在区间(0,$\frac{2}{3}$)内是减函数,知f'(x)=3x2-2ax≤0在(0,$\frac{2}{3}$)上恒成立.由此能求出实数a的取值范围.
解答 解:∵f(x)=x2(x-a)=x3-ax2,
∴f'(x)=3x2-2ax.
∵函数f(x)在(0,$\frac{2}{3}$)内是减函数,
∴f'(x)=3x2-2ax≤0在0,$\frac{2}{3}$)上恒成立.
即a≥$\frac{3x}{2}$在0,$\frac{2}{3}$)上恒成立
∵$\frac{3x}{2}$<$\frac{3}{2}$×$\frac{2}{3}$=1,
∴a≥1.
故实数a的取值范围为[1,+∞).
点评 本题考查利用导数求闭区间上函数单调性的应用,考查运算求解能力,推理论证能力,属于基础题.
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A. | ①③ | B. | ①④ | C. | ②③ | D. | ②④ |
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A. | $\frac{7}{4}$ | B. | $\frac{77}{20}$ | C. | $\frac{3}{4}$ | D. | $\frac{7}{3}$ |
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