Question

设函数f（x）=

ax2+bx+c

（a＜0）的定义域为D，若所有点（s，f（x））（s，t∈D）构成一个正方形区域，则a的值为

 

．

Answer 1

分析：由所有的点（s，f（t））（s，t∈D）构成一个正方形区域知，函数的定义域与值域的区间长度相等，利用二次函数的最值与二次方程的根，建立a，b，c关系式，求得答案．

解答：解：设函数u=ax²+bx+c与x轴的两个交点的横坐标为：x₁，x₂，x₁＜x₂
∵s为定义域的两个端点之间的部分，
就是[x₁，x₂]f（t）（t∈D）就是f（x）的值域，也就是[0，f（x）_max]，
且所有的点（s，f（t））（s，t∈D）构成一个正方形区
∴|x₁-x₂|=

umax

∵|x₁-x₂|=

2 b2-4ac

2a

=

4ac-b2 4a

∴

b2-4ac

a2

=

4ac-b2

4a

∴a=-4
故答案为：-4

点评：本题借助二次函数及二次方程的有关性质，探讨函数的定义域和值域问题，注意二次函数的开口方向，形式比较新颖，是个中档题．