Question

如果函数满足在集合上的值域仍是集合，则把函数称为N函数.
例如：就是N函数.
（Ⅰ）判断下列函数：①，②，③中，哪些是N函数？（只需写出判断结果）；
（Ⅱ）判断函数是否为N函数，并证明你的结论；
（Ⅲ）证明：对于任意实数，函数都不是N函数.
（注：“”表示不超过的最大整数）

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）是N函数；（Ⅲ）略

试题分析：（Ⅰ）的定义域为时，值域不是集合，例如值域中不含2。故不是N函数 。的定义域为时，值域不是集合，例如值域中不含2。故不是N函数。当时，所以是N函数。（Ⅱ）因为“”表示不超过的最大整数，所以。设，则，所以，解得，因为所以在一定存在正整数，即存在满足（Ⅲ）需对实数在全体实数范围内进行讨论。若为负时，函数不是N函数；若函数有最大值时，函数不是N函数；若函数的值是正数但不能取到所有正数时，函数不是N函数。
试题解析：解：（Ⅰ）只有是N函数.                   3分
（Ⅱ）函数是N函数.
证明如下：
显然，，.                 4分
不妨设,
由可得，
即.
因为，恒有成立，
所以一定存在，满足，
所以设，总存在满足，
所以函数是N函数.                    8分
（Ⅲ）（1）当时，有，
所以函数都不是N函数.                 9分
（2）当时，① 若，有，
所以函数都不是N函数.       10分
② 若，由指数函数性质易得，
所以，都有
所以函数都不是N函数.        11分
③ 若，令，则，
所以一定存在正整数使得 ，
所以，使得，
所以.
又因为当时，,所以；
当时，,所以，
所以，都有，
所以函数都不是N函数.      13分
综上所述，对于任意实数，函数都不是N函数.