Question

已知双曲线c：的一个焦点与抛物线y²=4x的焦点重合，且双曲线的离心率为．
（1）求双曲线的方程；
（2）若有两个半径相同的圆c₁，c₂，它们的圆心都在x轴上方且分别在双曲线c的两渐近线上，过双曲线的右焦点且斜率为-1的直线l与圆c₁，c₂都相切，求两圆c₁，c₂圆心连线斜率的范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）由抛物线y²=4x得焦点（1，0），得双曲线的c=1．再利用离心率计算公式，及a²+b²=c²，即可解得a，b；
（2）利用点斜式得直线l的方程为x+y-1=0．由（1）可得双曲线的渐近线方程为y=±2x．进而可设圆c₁：（x-t）²+（y-2t）²=r²，圆c₂：（x-n）²+（y+2n）²=r²，其中t＞0，n＜0．
因为直线l与圆c₁，c₂都相切，利用点到直线的距离公式可得，经过化简可得n与t的关系，再利用斜率计算公式即可得出k=，把n与t的关系代入即可得出k的取值方法．
解答：解：（1）由抛物线y²=4x得焦点（1，0），得双曲线的c=1．
又，a²+b²=c²，
解得，．
∴双曲线的方程为．
（2）直线l的方程为x+y-1=0．
由（1）可得双曲线的渐近线方程为y=±2x．
由已知可设圆c₁：（x-t）²+（y-2t）²=r²，圆c₂：（x-n）²+（y+2n）²=r²，其中t＞0，n＜0．
因为直线l与圆c₁，c₂都相切，所以，
得直线l与t+2t-1=n-2n-1，或t+2t-1=-n+2n+1，即n=-3t，或n=3t-2，
设两圆c₁，c₂圆心连线斜率为k，则k=，当n=-3t时，；
当n=3t-2时，，
∵t＞0，n＜0，∴，故可得-2＜k＜2，
综上：两圆c₁，c₂圆心连线斜率的范围为（-2，2）．
点评：本题综合考查了双曲线的标准方程及其性质、直线与圆相切、点到直线的距离公式、斜率计算公式等基础知识与基本技能，考查了推理能力和计算能力．