Question

15．一个母线长为6的圆锥（如图）的底部圆周上有一昆虫（M点），如果它沿着圆锥的侧面爬行一周回到原来的位置的最短路程恰好为6，那么该圆锥的底面半径是多少？圆锥的高是多少？请求出该圆锥的侧面积与体积．（提示：平面上两点间的线段最短）

Answer 1

分析 把圆锥侧面展开成一个扇形，则对应的弧长是底面的周长，对应的弦是最短距离，得出底面半径、高，即可求出该圆锥的侧面积与体积．

解答 解：把圆锥侧面展开成一个扇形，则对应的弧长是底面的周长，对应的弦是最短距离．
∵母线长为6，沿着圆锥的侧面爬行一周回到原来的位置的最短路程恰好为6，
∴侧面展开图的圆心角是60°，
设底面半径为r，则2πr=$\frac{π}{3}×6$，
解得：r=1，
∴圆锥的高是$\sqrt{36-1}$=$\sqrt{35}$，
∴圆锥的侧面积为$π•{1}^{2}+\frac{1}{2}•2π•1•6$=7π，体积V=$\frac{1}{3}•π•{1}^{2}•\sqrt{35}$=$\frac{\sqrt{35}π}{3}$．

点评 本题考查了平面展开-最短路线问题，弧长公式，圆锥的侧面积与体积，关键是能求出底面半径、高．