Question

如图，一个几何体由圆柱ADD₁A₁和三棱锥E-ABC组合而成，点A，B，C在⊙O的圆周上，E，A，D三点共线，已知AB⊥AC，AB=AC，AE=AD=1，BC=2．
（1）求证：AC⊥BD；
（2）求三棱锥C-BDE的体积．

Answer 1

分析：（1）由已知中EA⊥平面ABC，由线面垂直的性质可得ED⊥AC，结合AC⊥AB，由线面垂直的判定定理可得AC⊥平面EBD，再由线面垂直的性质得到AC⊥BD；
（2）由V_C-BDE=V_E-ABC+V_D-ABC，计算出底面ABC的面积，代入棱锥体积公式，可得答案．

解答：证明：（1）因为EA⊥平面ABC，AC?平面ABC，所以EA⊥AC，即ED⊥AC．
又因为AC⊥AB，AB∩ED=A，所以AC⊥平面EBD．
因为BD?平面EBD，所以AC⊥BD．（4分）
解：（2）V_C-BDE=V_E-ABC+V_D-ABC
又∵S_△ABC=

1

2

×2×1=1
∴V_E-ABC=

1

3

×S_△ABC×VA=

1

3

V_D-ABC=

1

3

×S_△ABC×DA=

1

3

∴V_C-BDE=

2

3

点评：本题考查的知识点是直线与平面垂直的性质，棱锥的体积，其中熟练掌握空间线面垂直的判定及性质是解答的关键．