【题目】已知函数,曲线在点处的切线方程为.
(1)求的解析式;
(2)判断方程在内的解的个数,并加以证明.
【答案】(1);(2)方程在上有3个解;证明见解析。
【解析】
(1)根据直线的切线方程,可得斜率即过的定点坐标,对函数求导,代入横坐标即可求得参数a;将横坐标带入原函数即可求得b,即得解析式。
(2)令,对求导,并可知,,根据零点存在定理及单调性可知在上只有一个零点。同理,讨论在各区间的端点符号及单调性即可判断零点情况。
(1)直线的斜率为,过点
,则,即
所以
(2)方程在上有3个解。
证明:令,
则
又,,
所以在上至少有一个零点
又在上单调递减,故在上只有一个零点,
当时,,故,
所以函数在上无零点.
当时,令,,
所以在上单调递增,,
所以,使得在上单调递增,在上单调递减.
又,,所以函数在上有2个零点.
综上,方程在上有3个解.
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【题目】一个圆周上有9个点,以这9个点为顶点作3个三角形.当这3个三角形无公共顶点且边互不相交时,我们把它称为一种构图.满足这样条件的构图共有( )种.
A. 3 B. 6 C. 9 D. 12
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【题目】王府井百货分店今年春节期间,消费达到一定标准的顾客可进行一次抽奖活动,随着抽奖活动的有效开展,参与抽奖活动的人数越来越多,该分店经理对春节前7天参加抽奖活动的人数进行统计, 表示第天参加抽奖活动的人数,得到统计表格如下:
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | |
5 | 8 | 8 | 10 | 14 | 15 | 17 |
经过进一步统计分析,发现与具有线性相关关系.
(1)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出关于的线性回归方程;
(2)判断变量与之间是正相关还是负相关;
(3)若该活动只持续10天,估计共有多少名顾客参加抽奖.
参与公式: , , .
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【题目】甲、乙两个人独立地破译一个密码,他们能译出密码的概率分别为和.
(1)求2个人都译出密码的概率;
(2)求2个人都译不出密码的概率;
(3)求至多1个人都译出密码的概率;
(4)求至少1个人都译出密码的概率.
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【题目】《九章算术》是中国古代的数学专著,其中的“更相减损术”可以用来求两个数的最大公约数,原文是:可半者半之,不可半者,副置分母、子之数,以少减多,更相减损,求其等也,以等数约之. 翻译为现代的语言如下:如果需要对分数进行约分,那么可以折半的话,就折半(也就是用2来约分).如果不可以折半的话,那么就比较分母和分子的大小,用大数减去小数,互相减来减去,一直到减数与差相等为止,用这个相等的数字来约分,现给出“更相减损术”的程序框图如图所示,如果输入的,,则输出的( )
A. 6 B. 5 C. 4 D. 3
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【题目】已知△ABC的内角A,B,C所对边分别为a、b、c,且2acosC=2b-c.
(1)求角A的大小;
(2)若AB=3,AC边上的中线SD的长为,求△ABC的面积.
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【题目】将下列问题的解答过程补充完整.
依次计算数列,,,,…的前四项的值,由此猜测的有限项的表达式,并用数学归纳法加以证明.
解:计算 ,
,
① ,
② ,
由此猜想 ③ .(*)
下面用数学归纳法证明这一猜想.
(i)当时,左边,右边,所以等式成立.
(ⅱ)假设当时,等式成立,即
④ .
那么,当时,
⑤
⑥
⑦ .
等式也成立.
根据(i)和(ⅱ)可以断定,(*)式对任何都成立.
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