Question

4．数列{a_n}的前n项的和为S_n，对于任意的自然数a_n＞0，4S_n=（a_n+1）²
（Ⅰ）求a₁的值；
（Ⅱ）求证：数列{a_n}是等差数列，并求通项公式；
（Ⅲ）设b_n=$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}$，求和T_n=b₁+b₂+…+b_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）令n=1，代入4S_n=（a_n+1）²求解即可；
（Ⅱ）由4S_n=（a_n+1）²化简可得（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n-2）=0，从而可得a_n+1-a_n=2，从而解得；
（Ⅲ）由b_n=$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}$=$\frac{2n-1}{{3}^{n}}$，利用错位相减法求解即可．

解答 解：（Ⅰ）令n=1，4S₁=（a₁+1）²，
解得，a₁=1；
（Ⅱ）∵4S_n=（a_n+1）²，
∴4S_n+1=（a_n+1+1）²，
相减可得，
4a_n+1=（a_n+1+1）²-（a_n+1）²，
∴（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n-2）=0，
∵a_n＞0，∴a_n+1-a_n=2，
∴{a_n}是等差数列，
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1；
（Ⅲ）b_n=$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}$=$\frac{2n-1}{{3}^{n}}$，
T_n=b₁+b₂+…+b_n=$\frac{1}{3}$+$\frac{3}{{3}^{2}}$+$\frac{5}{{3}^{3}}$+…+$\frac{2n-1}{{3}^{n}}$，
$\frac{1}{3}$T_n=$\frac{1}{{3}^{2}}$+$\frac{3}{{3}^{3}}$+$\frac{5}{{3}^{4}}$+…+$\frac{2n-1}{{3}^{n+1}}$，
　相减可得，
$\frac{2}{3}$T_n=$\frac{1}{3}$+2（$\frac{1}{{3}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{3}}$+…+$\frac{1}{{3}^{n}}$）-$\frac{2n-1}{{3}^{n+1}}$
=$\frac{1}{3}$+2$\frac{\frac{1}{9}（1-\frac{1}{{3}^{n-1}}）}{1-\frac{1}{3}}$-$\frac{2n-1}{{3}^{n+1}}$
=$\frac{2}{3}$-$\frac{2n+2}{{3}^{n+1}}$，
故T_n=1-$\frac{n+1}{{3}^{n}}$．

点评 本题考查了等比数列与等差数列的应用，同时考查了错位相减法的应用．