Question

已知动点P到定直线l：x=2

2

的距离与点P到定点F(

2

，0)之比为

2

．
（1）求动点P的轨迹c的方程；
（2）若点N为轨迹C上任意一点（不在x轴上），过原点O作直线AB交（1）中轨迹C于点A、B，且直线AN、BN的斜率都存在，分别为k₁、k₂，问k₁•k₂是否为定值？
（3）若点M为圆O：x²+y²=4上任意一点（不在x轴上），过M作圆O的切线，交直线l于点Q，问MF与OQ是否始终保持垂直关系？

Answer 1

（1）设点P（x，y），依题意，有

(x- 2 )2+y2

|x-2 2 |

=

2

2

．
整理，得

x2

4

+

y2

2

=1．
所以动点P的轨迹C的方程为

x2

4

+

y2

2

=1．

（2）由题意：设N（x₁，y₁），A（x₂，y₂），
则B（-x₂，-y₂）

x12

4

+

y12

2

=1，

x22

4

+

y22

2

=1
k₁•k₂=

y1-y2

x1-x2

•

y1+y2

x1+x2

=

y12-y22

x12-x22

=

2- 1 2 x12-2+ 1 2 x22

x12-x22

=-

1

2

为定值．

（3）M（x₀，y₀），则切线MQ的方程为：xx₀+yy₀=4
由

xx0+yy0=4 x=2 2

得Q(2

2

，

4-2 2 x0

y0

)

FM

=(x0-

2

，y0)，

OQ

=(2

2

，

4-2 2 x0

y0

)

FM

•

OQ

=2

2

x0-4+y0

4-2 2 x0

y0

=0
所以：

FM

⊥

OQ

即MF与OQ始终保持垂直关系