Question

已知f_n（x）=a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ，f_n（1）=n²，n=1，2，3…
（1）求a₁，a₂，a₃；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）求证：fn(

1

3

)＜1．

Answer 1

考点：数列与函数的综合

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）f_n（1）=a₁+a₂+…+a_n=n²，令S_n=f_n（1），既有S_n=a₁+a₂+…+a_n=n²，代入特殊值求解（2）运用a_n=S_n-S_n-1公式求解．
（3）fn(x)=x+3x2+5x3+…+(2n-1)xn
∴f_n（

1

3

）=

1

3

+3×（

1

3

）²+5（

1

3

）³+…+（2n-1）×（

1

3

）ⁿ①

1

3

•fn(

1

3

)=(

1

3

)2+3(

1

3

)3+5(

1

3

)4+…+(2n-1)(

1

3

)n+1②
利用错位相减的方法求解，注意化简运算．

解答： 解：（1）由已知f_n（1）=a₁+a₂+…+a_n=n²，令S_n=f_n（1），既有S_n=a₁+a₂+…+a_n=n²，
所以得a₁=S₁=1，a₂=S₂-S₁=3，a_，3=S₃-S₂=5，…
（2）①当n=1时，a₁=S₁=1；
②当n≥2时，a_，n=S_n-S_n-1=2n-1，对于n=1也适用，所以a_，n=2n-1．…
（3）fn(x)=x+3x2+5x3+…+(2n-1)xn
∴f_n（

1

3

）=

1

3

+3×（

1

3

）²+5（

1

3

）³+…+（2n-1）×（

1

3

）ⁿ①

1

3

•fn(

1

3

)=(

1

3

)2+3(

1

3

)3+5(

1

3

)4+…+(2n-1)(

1

3

)n+1②
①-②得

2

3

fn(

1

3

)=

1

3

+2(

1

3

)2+2(

1

3

)3+…+2(

1

3

)n-(2n-1)(

1

3

)n+1…=

1

3

+

2 9 [1-( 1 3 )n-1]

1- 1 3

-(2n-1)(

1

3

)n+1=

2

3

-

2n+2

3

(

1

3

)n，
∴fn(

1

3

)=1-

n+1

3n

，
  又n=1，2，3，…故fn(

1

3

)＜1．

点评：本题考查了数列的概念，数列的求和，错位相减的方法，运算量较大，做题仔细些．