Question

已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=2a_n+1
（Ⅰ）求证：数列{a_n+1}是等比数列；
（Ⅱ）求数列{a_n}的通项和前n项和S_n．

Answer 1

分析：（1）由a_n+1=2a_n+1变形为a_n+1+1=2（a_n+1），即可证明数列{a_n+1}是等比数列；
（2）由（1）可得：an=2n-1．再利用等比数列和等差数列的前n项和公式即可得出S_n．

解答：解：（1）由a_n+1=2a_n+1变形为a_n+1+1=2（a_n+1），
又a₁+1=2，
∴数列{a_n+1}是等比数列，公比为2，首项为2．
（2）由（1）可得：an+1=2×2n-1，
∴an=2n-1．
∴S_n=

2(2n-1)

2-1

-n=2ⁿ⁺¹-2-n．

点评：本题考查了等比数列的定义、等比数列和等差数列的前n项和公式，属于中档题．