Question

19．如图，某广场中间有一块边长为2百米的菱形状绿化区ABCD，其中BMN是半径为1百米的扇形，∠ABC=$\frac{2π}{3}$，管理部门欲在该地从M到D修建小路；在$\widehat{MN}$上选一点P（异于M、N两点），过点P修建与BC平行的小路PQ．
（1）设∠PBC=θ，试用θ表示修建的小路$\widehat{MP}$与线段PQ及线段QD的总长度l；
（2）求l的最小值．

Answer 1

分析 （1）由题意，QP，交AB于E利用正弦定理，求出EP，EB，即可用θ表示修建的小路$\widehat{MP}$与线段PQ及线段QD的总长度l；
（2）求导数，确定函数的单调性，即可求l的最小值．

解答 解：（1）由题意，延长QP，交AB于E，则${l}_{\widehat{MP}}$=（$\frac{2π}{3}$-θ），
△BPE中，∠EPB=θ，∠EBP=$\frac{2π}{3}$-θ，∠BEP=$\frac{π}{3}$，
∴EP=$\frac{2}{\sqrt{3}}$sin（$\frac{2π}{3}$-θ），EB=$\frac{2}{\sqrt{3}}$sinθ，
∴PQ=2-$\frac{2}{\sqrt{3}}$sin（$\frac{2π}{3}$-θ），QD=2-$\frac{2}{\sqrt{3}}$sinθ，
∴l=$\frac{2π}{3}$-θ+2-$\frac{2}{\sqrt{3}}$sin（$\frac{2π}{3}$-θ）+2-$\frac{2}{\sqrt{3}}$sinθ
=4-$\frac{2}{\sqrt{3}}$sin（$\frac{2π}{3}$-θ）-$\frac{2}{\sqrt{3}}$sinθ+$\frac{2π}{3}$-θ
=4-2sin（θ+$\frac{π}{6}$）+$\frac{2π}{3}$-θ（0＜θ＜$\frac{2π}{3}$）；
（2）l′=-2cos（θ+$\frac{π}{6}$）-1，
∴0＜θ＜$\frac{π}{2}$时，l′＜0，$\frac{π}{2}$＜θ＜$\frac{2π}{3}$，时，l′＞0，
∴θ=$\frac{π}{2}$时，l取得最小值，最小值为（4-$\sqrt{3}$+$\frac{π}{6}$）百米．

点评 本题考查三角函数中的恒等变换应用，考查正弦定理与两角差与两角和的正弦，考查导数知识的运用，考查运算求解能力，属于中档题．