Question

11．已知函数y=|x-1|+|x+7|的最小值为n，则二项式（x+$\frac{1}{x}$）ⁿ展开式中$\frac{1}{{x}^{2}}$的系数为56（用数字作答）．

Answer 1

分析 根据绝对值的几何意义求出n的值，再利用二项式展开式的通项公式求出展开式中$\frac{1}{{x}^{2}}$的系数．

解答 解：由于f（x）=|x-1|+|x+7|表示数轴上的x对应点到1和-7对应点的距离之和，
它的最小值为8，故n=8；
二项式（x+$\frac{1}{x}$）ⁿ展开式的通项公式为
T_r+1=${C}_{8}^{r}$•x^8-r•x^-r=${C}_{8}^{r}$•x^8-2r；
令8-2r=-2，解得r=5，
故二项式（x+$\frac{1}{x}$）ⁿ展开式中$\frac{1}{{x}^{2}}$项的系数为
${C}_{8}^{5}$=${C}_{8}^{3}$=56．
故答案为：56．

点评 本题主要考查绝对值的意义以及利用二项展开式的通项公式求某项的系数问题，是基础题目．