Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=2，2a_n+1+3S_n=3n+4（n∈N^*）．
（Ⅰ）求证：数列{a_n-1}是等比数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=λa_n-λ-n²，若b_2n-1＞b_2n恒成立，求实数λ的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（I）由题设知由2a_n+1+3S_n=3n+4，得2a_n+3S_n-1=3n+1（n≥2）．两式相减后可化成a_n+1-1=-（a_n-1），由此得出数列{a_n-1}是以1为首项，-为公比的等比数列，从而能求出数列{a_n}的通项公式．
（II）先由（Ⅰ）得，b_n=λ[（-）^n-1+1]-λ-n²=λ（-）^n-1-n²．由题意得b_2n-1＞b_2n，可得出λ＞-．最后结合函数的单调性可得实数λ的取值范围．
解答：解：（Ⅰ）由2a_n+1+3S_n=3n+4，得2a_n+3S_n-1=3n+1（n≥2），
两式相减得2a_n+1-2a_n+3（S_n-S_n-1）=3，即2a_n+1+a_n=3，（2分）
∴a_n+1=-a_n+，则a_n+1-1=-（a_n-1），（4分）
由a₁=2，又2a₂+3S₁=7，得a₂=，则，
故数列{a_n-1}是以1为首项，-为公比的等比数列．
则a_n-1=（a₁-1）（-）^n-1，
∴a_n=（-）^n-1+1，（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，b_n=λ[（-）^n-1+1]-λ-n²=λ（-）^n-1-n²．
由题意得b_2n-1＞b_2n，则有λ（-）^2n-2-（2n-1）²＞λ（-）^2n-1-（2n）²，
即λ（-）^2n-2[1-（-）]＞（2n-1）²-（2n）²，
∴λ＞-，（10分）
而-对于n∈N^*时单调递减，则-的最大值为-=-2，
故λ＞-2．（12分）
点评：本题的考点是数列与不等式的综合，主要考查迭代法求数列通项公式的方法，考查最值法解决恒成立问题，关键是写出两式，作差化简，构建等比数列．