【题目】已知函数,三个函数的定义域均为集合
.
(1)若恒成立,满足条件的实数
组成的集合为
,试判断集合
与
的关系,并说明理由;
(2)记,是否存在
,使得对任意的实数
,函数
有且仅有两个零点?若存在,求出满足条件的最小正整数
;若不存在,说明理由.(以下数据供参考:
)
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【题目】定义:在平面内,点到曲线
上的点的距离的最小值称为点
到曲线
的距离,在平面直角坐标系
中,已知圆
:
及点
,动点
到圆
的距离与到
点的距离相等,记
点的轨迹为曲线
.
(1)求曲线的方程;
(2)过原点的直线(
不与坐标轴重合)与曲线
交于不同的两点
,点
在曲线
上,且
,直线
与
轴交于点
,设直线
的斜率分别为
,求
.
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【题目】某公司计划在甲、乙两个电视台做总时间不超过 300 分钟的广告,广告总费用不超过9万元.甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟.甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告,能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元.设该公司在甲、乙两个电视台做广告的时间分别为分钟和
分钟.
(Ⅰ)用列出满足条件的数学关系式,并画出相应的平面区域;
(Ⅱ)该公司如何分配在甲、乙两个电视台做广告的时间使公司的收益最大,并求出最大收益是多少?
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【题目】中山某学校的场室统一使用“欧普照明”的一种灯管,已知这种灯管使用寿命(单位:月)服从正态分布
,且使用寿命不少于
个月的概率为
,使用寿命不少于
个月的概率为
.
(1)求这种灯管的平均使用寿命;
(2)假设一间课室一次性换上支这种新灯管,使用
个月时进行一次检查,将已经损坏的灯管换下(中途不更换),求至少两支灯管需要更换的概率.
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【题目】设直线与抛物线
相交于不同两点
、
,
为坐标原点.
(1)求抛物线的焦点到准线的距离;
(2)若直线又与圆
相切于点
,且
为线段
的中点,求直线
的方程;
(3)若,点
在线段
上,满足
,求点
的轨迹方程.
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【题目】已知数列的前
项和为
,通项
满足
(
是常数,
且
).
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)当时,证明
;
(Ⅲ)设函数,
,是否存在正整数
,使
对
都成立?若存在,求出
的值;若不存在,请说明理由.
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【题目】某景点拟建一个扇环形状的花坛(如图所示),按设计要求扇环的周长为36米,其中大圆弧所在圆的半径为14米,设小圆弧所在圆的半径为米,圆心角为
(弧度).
⑴ 求关于
的函数关系式;
⑵ 已知对花坛的边缘(实线部分)进行装饰时,直线部分的装饰费用为4元/米,弧线部分的装饰费用为16元/米,设花坛的面积与装饰总费用之比为,求
关于
的函数关系式,并求出
的最大值.
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