Question

10．如图，已知四边形ABCD是圆内接四边形，且∠BCD=120°，AD=2，AB=BC=1．现有以下结论：
①B，D两点间的距离为$\sqrt{3}$；
②AD是该圆的一条直径；
③CD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
④四边形ABCD的面积S=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$．
其中正确的个数为3．

Answer 1

分析 利用余弦定理，结合面积公式，分析四个命题，即可得出结论．

解答 解：①∵∠BCD=120°，∴∠A=60°，
∵AD=2，AB=1，∴BD=$\sqrt{4+1-2×2×1×\frac{1}{2}}$=$\sqrt{3}$，①正确；
∴AB⊥BD，∴AD是该圆的一条直径，②正确；
③3=1+CD²-2CD•（-$\frac{1}{2}$），∴CD²+CD-2=0，∴CD=1，不正确；
④由③可得四边形是梯形，高为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，四边形ABCD的面积S=$\frac{1+2}{2}•\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，正确．
故答案为：3

点评 本题考查圆内接四边形的性质，考查余弦定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．