Question

已知双曲线过点P(-3

2

，4)，它的渐近线方程为y=±

4

3

x
（1）求双曲线的标准方程；
（2）设F₁和F₂是该双曲线的左、右焦点，点P在双曲线上，且|PF₁|•|PF₂|=55，求∠F₁PF₂的余弦值．

Answer 1

分析：（1）根据双曲线渐近线方程为y=±

4

3

x，设双曲线方程为

x2

9

-

y2

16

=m（m≠0），代入点P的坐标算出m=1，即可得到双曲线的标准方程；
（2）由双曲线的标准方程，算出a=3、b=4且c=5，根据双曲线的定义算出||PF₁|-|PF₂||=2a=6，再由△F₁PF₂中|F₁F₂|=10且|PF₁|•|PF₂|=55，利用余弦定理加以计算即可得出∠F₁PF₂的余弦值．

解答：解：（1）∵双曲线的渐近线方程为y=±

4

3

x
∴设所求双曲线的方程为（y+

4

3

x）（y-

4

3

x）=m（m≠0），即

x2

9

-

y2

16

=m，
又∵P(-3

2

，4)在该双曲线上，
∴将P的坐标代入双曲线方程，得

(-3 2 )2

9

-

42

16

=m，解得m=1，
因此，所求双曲线方程为

x2

9

-

y2

16

=1；
（2）∵双曲线方程为

x2

9

-

y2

16

=1，∴a=3、b=4，可得c=

a2+b2

=5．
根据双曲线定义，可得||PF₁|-|PF₂||=2a=6，
∵|F₁F₂|=2c=10，|PF₁|•|PF₂|=55，
∴在△F₁PF₂中，根据余弦定理得|F₁F₂|²=|PF₁|²+|PF₂|²-2|PF₁|•|PF₂|cos∠F₁PF₂，
即|F₁F₂|²=（|PF₁|-|PF₂|）²+2|PF₁|•|PF₂|-2|PF₁|•|PF₂|cos∠F₁PF₂，
可得100=36+2×55-2×55cos∠F₁PF₂，即110cos∠F₁PF₂=46，
∴cos∠F₁PF₂=

46

110

=

23

55

．

点评：本题给出双曲线的渐近线，在双曲线经过定点P的情况下求它的标准方程，并依此求∠F₁PF₂的余弦值．着重考查了双曲线的标准方程与简单几何性质、利用余弦定理解三角形等知识，属于中档题．