Question

（1）解关于x的不等式

x+3

x+1

≤2；
（2）记（1）中不等式的解集为A，函数g（x）=lg[（x-a-1）（2a-x）]，（a＜1）的定义域为B．若B⊆A，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）不等式

x+3

x+1

≤2可化为

x-1

x+1

≥0，进而根据分式不等式的解法，可化为

(x-1)(x+1)≥0 x+1≠0

，解不等式组，即可得到答案．
（2）根据对数函数的真数部分大于0，我们可以求出函数g（x）的定义域B，进而根据B⊆A，根据集合包含关系的定义，我们可以构造一个关于a的不等式组，解不等式组即可求出满足条件的实数a的取值范围．

解答：解：（1）由

x+3

x+1

≤2得：

x-1

x+1

≥0，
即

(x-1)(x+1)≥0 x+1≠0

解得x＜-1或x≥1，
即A=（-∞，-1）∪[1，+∞）
（2）由（x-a-1）（2a-x）＞0得：
（x-a-1）（x-2a）＜0
由a＜1得a+1＞2a，
∴B=（2a，a+1）
∵B⊆A，
∴2a≥1或a+1≤-1
即a≥

1

2

或a≤-2，而a＜1，
∴

1

2

≤a＜1或a≤-2
故当B⊆A时，实数a的取值范围是(-∞，-2]∪[

1

2

，1)

点评：本题考查的知识点是集合关系中的参数取值问题，对数函数的定义域，分式不等式的解法，其中（1）的关键是将已知中的分式不等式根据实数的性质，转化为一个整式不等式组，而（2）的关键是根据集合包含关系的定义，构造一个关于a的不等式组，解答本题是要注意B是函数的定义域，不可能为空集，本题易忽略此点，而得到错解．