Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2＝2px(p>0)上一点P到准线的距离与到原点O的距离相等，抛物线的焦点为F.

(1)求抛物线的方程；

(2)若A为抛物线上一点(异于原点O)，点A处的切线交x轴于点B，过A作准线的垂线，垂足为点E，试判断四边形AEBF的形状，并证明你的结论.

Answer 1

【答案】(1)y2＝6x； (2) 菱形，证明见解析

【解析】

(1)由点P到准线的距离与到原点O的距离相等，可得点P在线段OF的中垂线上，进而可求p的值，即得抛物线的方程；(2)设点A在x轴的上方，设其坐标，由导函数的几何意义写出点A处的切线方程，可得到点B的坐标，进而可写出与的坐标，进而得两向量相等，再结合抛物线定义可得AF＝AE，可得四边形AEBF的形状。

(1)由题意得点P到准线的距离等于PO，

由抛物线的定义得点P到准线的距离为PF，

所以PO＝PF，即点P在线段OF的中垂线上，

所以，p＝3，

所以抛物线的方程为y2＝6x.

(2)四边形AEBF为菱形，理由如下：

由抛物线的对称性，设点在x轴的上方，所以点A处切线的斜率为，

所以点A处切线的方程为y－y0＝，

令上式中y＝0，得x＝－，

所以B点坐标为，

又，

所以

所以，所以FA∥BE，

又因为AE∥FB，故四边形AEBF为平行四边形，

再由抛物线的定义，得AF＝AE，所以四边形AEBF为菱形.