Question

如图，椭圆的方程为

x2

a2

+

2y2

a2

=1(a＞0)，其右焦点为F，把椭圆的长轴分成6等分，过每个等分点作x轴的垂线交椭圆上半部于点P₁，P₂，P₃，P₄，P₅五个点，且|P₁F|+|P₂F|+|P₃F|+|P₄F|+|P₅F|=5

2

．
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线l过F点（l不垂直坐标轴），且与椭圆交于A、B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点M（m，0），试求m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由题意，知P₁与P₅，P₂与P₃分别关于y轴对称，设椭圆的左焦点为F₁，从而|P₁F|+|P₅F|=|P₁F|+|P₁F₁|=2a，|P₂F|+|P₃F|=2a，|P₃F|=a，利用|P₁F|+|P₂F|+|P₃F|+|P₄F|+|P₅F|=5a=5

2

，即可求得椭圆的方程；
（2）设l的方程为y=k（x-1）（k≠0），代入椭圆方程

x2

2

+y2=1，利用韦达定理，确定AB的中点的坐标，求出线段AB的垂直平分线方程，表示出m，即可确定m的取值范围．

解答：解：（1）由题意，知P₁与P₅，P₂与P₃分别关于y轴对称
设椭圆的左焦点为F₁，则|P₁F|+|P₅F|=|P₁F|+|P₁F₁|=2a，同时|P₂F|+|P₃F|=2a而|P₃F|=a
∴|P₁F|+|P₂F|+|P₃F|+|P₄F|+|P₅F|=5a=5

2

∴a=

2

∴椭圆的方程为

x2

2

+y2=1；
（2）由题意，F（1，0），设l的方程为y=k（x-1）（k≠0），代入椭圆方程

x2

2

+y2=1
消元整理，得（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB的中点为（x₀，y₀），
则x1+x2=

4k2

1+2k2

，x0=

1

2

(x1+

x

2

)=

2k2

2k2+1

，y0=k(x0-1)=-

k

2k2+1

∴线段AB的垂直平分线方程为y-y₀=-

1

k

（x-x₀）
令y=0，得m=x₀+ky₀=

2k2

2k2+1

-

k2

2k2+1

=

k2

2k2+1

=

1

2+ 1 k2

由于

1

k2

＞0，∴2+

1

k2

＞2
∴0＜m＜

1

2

．

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查椭圆的对称性，考查韦达定理的运用，求出线段AB的垂直平分线方程是关键．