Question

直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，点M、N分别为线段A₁B、A₁C₁的中点，平面A₁BC⊥侧面A₁ABB₁
（1）求证：MN∥平面BCC₁B₁；
（2）证明：BC⊥平面AA₁B₁B．

Answer 1

解：（1）连BC₁，在△A₁BC₁中，M、N分别为线段A₁B、A₁C₁的中点，
∴MN是△A₁BC₁的中位线，可得MN∥BC₁，
∵BC₁?平面BB₁CC₁，MN?平面BB₁CC₁，
∴MN∥平面BCC₁B₁
（2）∵ABC-A₁B₁C₁为直三棱柱，
∴BB₁⊥面ABC，结合BB₁?面A₁B₁BA，可得面A₁B₁BA⊥面ABC
取平面AA₁B₁B内一点P，作PR⊥AB于R，PQ⊥A₁B于Q．
∵PR?面ABB₁A₁，平面A₁BC⊥面A₁ABB₁且平面A₁BC∩面A₁ABB₁=AB
∴PR⊥面ABC，结合BC?平面ABC，可得PR⊥BC
再由平面A₁BC⊥侧面A₁ABB₁，同理可得：PQ⊥BC
∵PR、PQ是平面AA₁B₁B内的相交直线，
∴BC⊥平面AA₁B₁B．
分析：（1）连BC₁，在△A₁BC₁中利用中位线定理，证出得MN∥BC₁，结合线面平行的判定定理可得MN∥平面BCC₁B₁；
（2）根据直三棱柱的性质，可得面A₁B₁BA⊥面ABC．取平面AA₁B₁B内一点P，作PR⊥AB于R，PQ⊥A₁B于Q，利用面面垂直的性质定理，可证出PR⊥BC且PQ⊥BC，结合线面垂直判定定理可得BC⊥平面AA₁B₁B．
点评：本题给出特殊的直三棱柱，求证线面平行和线面垂直，着重考查了空间线面平行、垂直和面面垂直的性质与判定定理等知识，属于基础题．