Question

已知函数f（x）=asinx•cosx-

3

acos²x+

3

2

a+b（a＞0）
（1）化简函数的解析式将其写成f（x）=Asin（ωx+φ）+B的形式；
（2）求函数的单调递减区间及函数图象的对称中心；
（3）当x∈[0，

π

2

]时，f（x）的最小值是-2，最大值是

3

，求实数a，b的值．

Answer 1

分析：（1）利用二倍角公式以及两角和的正弦函数化简函数的解析式将其写成f（x）=Asin（ωx+φ）+B的形式；
（2）利用正弦函数的单调增区间求函数的单调递减区间，正弦函数的对称中心求解函数图象的对称中心；
（3）当x∈[0，

π

2

]时，求出函数相位的范围，推出函数的值域，利用f（x）的最小值是-2，最大值是

3

，列出方程组求实数a，b的值．

解答：解：（1）函数f（x）=asinx•cosx-

3

acos²x+

3

2

a+b
=

1

2

asin2x-

3

a

1+cos2x

2

+

3

2

a+b
=asin（2x-

π

3

）+b （4分）
（2）令：

π

2

+2kπ≤2x-

π

3

≤2kπ+

3π

2

，k∈Z，
得-

π

12

+kπ≤x≤kπ+

5π

12

，k∈Z，
故函数的单调减区间是[-

π

12

+kπ，kπ+

5π

12

]， k∈Z． （6分）
令 2x-

π

3

=kπ，解得x=

π

6

+

kπ

2

，
∴函数图象的对称中心为(

π

6

+

kπ

2

，b)，k∈Z，（8分）
（3）∵当x∈[0，

π

2

]时，2x-

π

3

∈[-

π

3

，

2π

3

]，
故-

3

2

≤sin（2x-

π

3

）≤1 （10分）
f（x）的最小值是-2，最大值是

3

，
又∵a＞0，∴

a+b= 3 - 3 2 a+b=-2

解得

a=2 b= 3 -2

  （12分）

点评：本题考查三角函数的化简求值，二倍角以及两角和的正弦函数的应用，正弦函数的基本性质的考查．