Question

6．已知数列{a_n}满足$\frac{2}{{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{{a}_{n}}$+$\frac{1}{{a}_{n+2}}$（n∈N^*），且a₃=$\frac{1}{5}$，a₂=3a₅
（I）求{a_n}的通项公式
（Ⅱ）若b_n=a_na_n+1（n∈N^*），求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （I）数列{a_n}满足$\frac{2}{{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{{a}_{n}}$+$\frac{1}{{a}_{n+2}}$（n∈N^*），可得：数列$\{\frac{1}{{a}_{n}}\}$是等差数列，再利用等差数列的通项公式即可得出．
（II）利用“裂项求和”即可得出．

解答 解：（I）∵数列{a_n}满足$\frac{2}{{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{{a}_{n}}$+$\frac{1}{{a}_{n+2}}$（n∈N^*），
∴数列$\{\frac{1}{{a}_{n}}\}$是等差数列，设公差为d．
由a₃=$\frac{1}{5}$，a₂=3a₅，可得$\frac{1}{{a}_{3}}$=5=$\frac{1}{{a}_{1}}$+2d，$\frac{1}{{a}_{2}}=\frac{1}{3{a}_{5}}$即$\frac{1}{{a}_{1}}+d$=$\frac{1}{3}（\frac{1}{{a}_{1}}+4d）$，解得a₁=1，d=2．
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=1+2（n-1）=2n-1，∴a_n=$\frac{1}{2n-1}$．
（II）b_n=a_na_n+1=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$，
∴数列{b_n}的前n项和S_n=$\frac{1}{2}[（1-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）$+…+$（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）]$
=$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{2n+1}）$
=$\frac{n}{2n+1}$．

点评 本题考查了“裂项求和”方法、等差数列的定义及其通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．