Question

【题目】已知椭圆E：（）的离心率为，且短轴的一个端点B与两焦点A，C组成的三角形面积为.

（Ⅰ）求椭圆E的方程；

（Ⅱ）若点P为椭圆E上的一点，过点P作椭圆E的切线交圆O：于不同的两点M，N（其中M在N的右侧），求四边形面积的最大值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）4.

【解析】

（Ⅰ） 结合已知可得，求出a，b的值，即可得椭圆方程；

（Ⅱ）由题意可知，直线的斜率存在，设出直线方程，联立直线方程与椭圆方程，利用判别式等于0可得，联立直线方程与圆的方程，结合根与系数的关系求得，利用弦长公式及点到直线的距离公式，求出，得到，整理后利用基本不等式求最值.

解：（Ⅰ）可得，结合，

解得，，，得椭圆方程；

（Ⅱ）易知直线的斜率k存在，设：，

由，得，

由，得，

∵，

设点O到直线：的距离为d，

，

，

由，得，

，，

∴

∴，

∴

而，，易知，∴，则，

四边形的面积

当且仅当，即时取“”.

∴四边形面积的最大值为4.