【题目】已知a>0,b>0,a3+b3=2,证明:
(Ⅰ)(a+b)(a5+b5)≥4;
(Ⅱ)a+b≤2.
【答案】证明:(Ⅰ)由柯西不等式得:(a+b)(a5+b5)≥( + )2=(a3+b3)2≥4,
当且仅当 = ,即a=b=1时取等号,
(Ⅱ)∵a3+b3=2,
∴(a+b)(a2﹣ab+b2)=2,
∴(a+b)[(a+b)2﹣3ab]=2,
∴(a+b)3﹣3ab(a+b)=2,
∴ =ab,
由均值不等式可得: =ab≤( )2 ,
∴(a+b)3﹣2≤ ,
∴ (a+b)3≤2,
∴a+b≤2,当且仅当a=b=1时等号成立.
【解析】(Ⅰ)由柯西不等式即可证明,
(Ⅱ)由a3+b3=2转化为 =ab,再由均值不等式可得: =ab≤( )2 , 即可得到 (a+b)3≤2,问题得以证明.
【考点精析】解答此题的关键在于理解基本不等式的相关知识,掌握基本不等式:,(当且仅当时取到等号);变形公式:,以及对不等式的证明的理解,了解不等式证明的几种常用方法:常用方法有:比较法(作差,作商法)、综合法、分析法;其它方法有:换元法、反证法、放缩法、构造法,函数单调性法,数学归纳法等.
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【题目】已知在直角坐标系中,曲线的方程是,直线经过点,倾斜角为,以为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)写出曲线的极坐标方程和直线的参数方程;
(2)设直线与曲线相交于,两点,求的值.
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【题目】某厂生产某种产品的固定成本(固定投入)为2 500元,已知每生产件这样的产品需要再增加可变成本 (元),若生产出的产品都能以每件500元售出,要使利润最大,该厂应生产多少件这种产品?最大利润是多少?
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【题目】某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元,每生产一台仪器需增加投入100元,已知总收益满足函数: ,其中是仪器的月产量.(注:总收益=总成本+利润)
(1)将利润表示为月产量的函数;
(2)当月产量为何值时,公司所获利润最大?最大利润为多少元?
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【题目】以下四个命题,其中正确的个数有( )
①由独立性检验可知,有的把握认为物理成绩与数学成绩有关,某人数学成绩优秀,则他有99%的可能物理优秀.
②两个随机变量相关性越强,则相关系数的绝对值越接近于1;
③在线性回归方程中,当解释变量每增加一个单位时,预报变量平均增加0.2个单位;
④对分类变量与,它们的随机变量的观测值来说, 越小,“与有关系”的把握程度越大.
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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【题目】已知等差数列的前n项和为, , ,数列满足: , , ,数列的前n项和为
(1)求数列的通项公式及前n项和;
(2)求数列的通项公式及前n项和;
(3)记集合,若M的子集个数为16,求实数的取值范围.
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【题目】已知函数,.
(Ⅰ)当时,求函数的单调区间;
(Ⅱ)若在区间上存在不相等的实数,使成立,求的取值范围;
(Ⅲ)若函数有两个不同的极值点,,求证:.
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