Question

从原点出发的某质点M，按向量

a

=（0，1）移动的概率为

2

3

，按向量

b

=（0，2）移动的概率为

1

3

，设可达到点（0，n）的概率为P_n，求：
（1）求P₁和P₂的值．
（2）求证：P_n+2=

1

3

P_n+

2

3

P_n+1．
（3）求P_n的表达式．

Answer 1

分析：（1）P₁为到达点（0，1）的概率，要到达（0，1）只有按向量

a

移动才可能，故P₁=

2

3

，P₂为到达点（0，2）的概率，要到达（0，2）有两种方法，第一种直接按向量

b

可到达；第二种两次都按向量

a

走．故 P2=

2

3

•

2

3

+

1

3

．
（2）找出P_n+2、P_n+1、P_n的关系即 Pn+2=

2

3

Pn+1+

1

3

Pn，即可得到答案．
（3）构造新数列{P_n+1-P_n}是以P₂-P₁为首项，-

1

3

为公比的等比数列，由等比数列求和可得答案．

解答：解：（1）．P₁=

2

3

，P2=(

2

3

)2+

1

3

=

7

9

．
（2）．证明：到达点（0，n+2）有两种情况：从点（0，n）按向量

b

=(0，2)移动；
从点（0，n+1）按向量

a

=（0，1）移动，概率分别为P_n×

1

3

与Pn+1×

2

3

，所以Pn+2=

1

3

Pn+

2

3

Pn+1．
（3）．由（2）得P_n+2-P_n+1=-

1

3

(Pn+1-Pn)，故数列{P_n+1-P_n}是以P₂-P₁=

1

9

为首项，-

1

3

为公比的等比数列，
故P_n+1-P_n=

1

9

•(-

1

3

)n-1=(-

1

3

)n+1，
于是P_n-P₁=（Pn-Pn-1)+…+(P2-P1)=

1

12

•[1-(-

1

3

)n-1]∴Pn=

3

4

+

1

4

•(-

1

3

)n．

点评：本题主要考查构造等比数列的方法．等比数列是高考中必考题，有时题中的数列不是等比的，要通过自己构造新的数列使之成为等比数列进而解题．