Question

【题目】为调查高中生的数学成绩与学生自主学习时间之间的相关关系，长郡中学数学教师对新入学的45名学生进行了跟踪调查，其中每周自主做数学题的时间不少于15小时的有19人，余下的人中，在高三模拟考试中数学平均成绩不足120分的占，统计成绩后，得到如下的列联表：

	分数大于等于120分	分数不足120分	合计
周做题时间不少于15小时		4	19
周做题时间不足15小时
合计			45

（1）请完成上面的列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“高中生的数学成绩与学生自主学习时间有关”；

（2）（ⅰ）按照分层抽样的方法，在上述样本中，从分数大于等于120分和分数不足120分两组学生中抽取9名学生，设抽到的不足120分且周做题时间不足15小时的人数是，求的分布列（概率用组合数算式表示）；

（ⅱ）若将频率视为概率，从全校大于等于120分的学生中随机抽取20人，求这些人中周做题时间不少于15小时的人数的期望和方差.

附：

Answer 1

【答案】（1）见解析;（2）（ⅰ）见解析;（ⅱ）， .

【解析】【试题分析】（１）先算出卡方系数，再与参数值进行比对，从而做出判断；（2）先运用分层抽样的方法求出随机变量的概率分布，再借助概率分布的数学期望公式进行求解：

（1）

	分数大于等于120分	分数不足120分	合计
周做题时间不少于15小时	15
周做题时间不足15小时	10	16	26
合计	25	20

∵

∴能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“高中生的数学成绩与学生自主学习时间有关”

（2）（ⅰ）由分层抽样知大于等于120分的有5人，不足120分的有4人

的可能取值为.

， ， ，

， .

（ⅱ）设从全校大于等于120分的学生中随机抽取20人，这些人中周做题时间不少于15小时的人数为随机变量，由题意可知

故， .