Question

已知a为实数，数列{a_n}满足a₁=a，当n≥2时，an=

an-1-3     (an-1＞3) 4-an-1    (an-1≤3)

，
（1）当a=100时，填写下列列表格：

n	2	3	35	100
an

（2）当a=100时，求数列{a_n}的前100项的和S₁₀₀；
（3）令bn=

an

(-2)n

，Tn=b1+b2+…+bn，求证：当1＜a＜

4

3

时，Tn＜

4-3a

3

．

Answer 1

分析：解：（1）当a=100时，由题意知数列{a_n}的前34项成首项为100，公差为-3的等差数列，从第35项开始，奇数项均为3，偶数项均为1，由此能完成表格．
（2）当a=100时，由题意知数列{a_n}的前34项成首项为100，公差为-3的等差数列，从第35项开始，奇数项均为3，偶数项均为1，从而S₁₀₀=（100+97+94+…+4+1）+（3+1+…+3+1）（前一组共34项，后一组共66项），由此能求出结果．    
（3）当1＜a＜

4

3

时，因为an=

a，n为奇数 4-a，n为偶数

，所以bn=

an

(-2)n

=

- a 2 n ，n为奇数 4-a 2n ，n为偶数

，由此能够证明当1＜a＜

4

3

时，Tn＜

4-3a

3

．

解答：解：（1）

n	2	3	35	100
an	97	94	3	1

（2）当a=100时，由题意知数列{a_n}的前34项成首项为100，公差为-3的等差数列，从第35项开始，奇数项均为3，偶数项均为1，
从而S₁₀₀=（100+97+94+…+4+1）+（3+1+…+3+1）（前一组共34项，后一组共66项）
=

(100+1)×34

2

+(3+1)×

66

2

=1717+132
=1849．                  
（3）当1＜a＜

4

3

时，因为an=

a，n为奇数 4-a，n为偶数

，
所以bn=

an

(-2)n

=

- a 2 n ，n为奇数 4-a 2n ，n为偶数

，
当n=2k，k∈N^*时，
T_n=b₁+b₂+…+b_2k
=-

a

2

+

4-a

22

-

a

23

+

4-a

24

+…-

a

22k-1

+

4-a

22k

=-(

a

2

+

a

23

+…+

a

22k-1

)+(

4-a

22

+

4-a

24

+…+

4-a

22k

)
=-

a 2 [1-( 1 4 )k ]

1- 1 4

+

4-a 4 [1-( 1 4 )k ]

1- 1 4

=

4-3a

3

[1-(

1

4

)k]．
因为1＜a＜

4

3

，所以

4-3a

3

[1-(

1

4

)k]＜

4-3a

3

，
当n=2k-1，k∈N^*时，
T_n=b₁+b₂+…+b_2k-1
=-

a

2

+

4-a

22

-

a

23

+

4-a

24

+…-

a

22k-1

＜-

a

2

+

4-a

22

-

a

2 3

+

4-a

24

+…-

a

22k-1

+

4-a

22k

＜

4-3a

3

．
所以Tn＜

4-3a

3

．

点评：本题考查数列与函数的综合运用．解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．本题的易错点是不区分n的奇偶性，导致出错．