Question

设双曲线的中心在原点，准线平行于x轴，离心率为，且点P（0，5）到此双曲线上的点的最近距离为2，求双曲线的方程．

Answer 1

【答案】分析：由双曲线中心在原点，准线平行于x轴，可设双曲线的方程为-=1．由离心率为，可得a²+b²=（a）²=c²．由点P（0，5）到此双曲线上的点的最近距离为2，可转化为二次函数的最大（小）值问题来讨论，得到a、b应满足的另一关系式．从而求出a²、b²，本题得解．
解答：解：依题意，设双曲线的方程为-=1（a＞0，b＞0）．
∵e==，c²=a²+b²，∴a²=4b²．
设M（x，y）为双曲线上任一点，则
|PM|²=x²+（y-5）²
=b²（-1）+（y-5）²
=（y-4）²+5-b²（|y|≥2b）．
①若4≥2b，则当y=4时，
|PM|_min²=5-b²=4，得b²=1，a²=4．
从而所求双曲线方程为-x²=1．
②若4＜2b，则当y=2b时，
|PM|_min²=4b²-20b+25=4，
得b=（舍去b=），b²=，a²=49．
从而所求双曲线方程为-=1．
点评：本题主要考查双曲线的基本性质--离心率、基本关系，考查两点间的距离公式．对于学生的运算能力也有一定的考查．