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已知f(x)为一次函数,且f(x)=x
2
0
f(t)dt+1,
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)若g(x)=x•f(x),求曲线y=g(x)与x轴所围成的区域绕x轴旋转一周所得到的旋转体的体积.
分析:(1)利用待定系数法,结合定积分的定义求函数f(x)的解析式;
(2)求出g(x),应用定积分来求旋转体的体积.
解答:解:(1)设f(x)=kx+b,
∵f(x)=x
2
0
f(t)dt+1,
∴kx+b=x•(
kt2
2
+bt
|
2
0
+1,
∴kx+b=(2k+2b)x+1,
∴k=-2,b=1,
∴f(x)=-2x+1,;
2)g(x)=xf(x)=-2x2+x,
∴V=π
1
2
0
[xf(x)]2dx=
π
240
点评:本题主要考查了定积分,定积分运算是求导的逆运算,以及待定系数法的应用,属于基础题.
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