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已知倾斜角为60°的直线L经过抛物线y2=4x的焦点F,且与抛物线相交于A、B两点,其中O坐标原点.
(1)求三角形ABO的重心坐标;
(2)求三角形ABO的面积.
分析:(1)直线L的方程为y=
3
(x-1)
代入y2=4x得:3x2-10x+3=0,解出其A、B两点横坐标的和与积,算出两点纵坐标的和,用重心坐标公式求出三角形ABO的重心坐标;
(2)由抛物线的性质求出弦长及点O到直线AB的距离,求出面积.
解答:解:(1)由题意得:直线L的方程为y=
3
(x-1)

代入y2=4x得:3x2-10x+3=0(3分)
设点A(x1,y1),B(x2,y2)则:x1+x2=
10
3
,x1x2=(15分)
从而y1+y2=
3
(x1+x2-2)=
4
3
3
(7分)
∴△ABO的重心坐标x=
x1+x2+0
3
=
10
9
y=
y1+y2+0
3
=
4
3
9

故三角形ABO的重心坐标为(
10
9
4
3
9
)
(8分)
(2)由(1)及抛物线的定义得:弦长|AB|=x1+x2+p=
10
3
+2=
16
3

又点O到直线AB的距离d=
|-
3
|
3+1
=
3
2
(12分)
所以三角形OAB的面积为S=
1
2
|AB|•d=
4
3
3
.(14分)
点评:本题考查直线与圆锥曲线的关系,解答本题关键是掌握三角形的重心坐标公式以及直线与圆锥曲线相交时两交点的坐标表示,弦长公式与点到直线距离公式的熟练使用也很重要.
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科目:高中数学 来源: 题型:

已知倾斜角为60°的直线l通过抛物线x2=4y的焦点F,且与抛物线相交于A、B两点,则弦AB的长为(  )
A、4B、6C、10D、16

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知倾斜角为60°的直线 l过圆C:x2+2x+y2=0的圆心,则此直线l的方程是(  )
A、
3
x+y+1=0
B、x-
3
y+1=0
C、x+
3
y+1=0
D、
3
x-y+
3
=0

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知倾斜角为60°的直线L经过抛物线y2=4x的焦点F,且与抛物线相交于A、B两点,其中O坐标原点.
(1)求弦AB的长;
(2)求三角形ABO的面积.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

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(1)求弦AB的长;
(2)求三角形ABO的面积.

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